Nekhoroshev stability of the Trojans

Christoph Lhotka

01.03.2005 -

Abstract

Contrary to the KAM theorem (Kolmogorov 1954, Arnold 1963, Moser 1962), which asserts stability for all times of those orbits of a nonlinear dynamical system, with initial conditions belonging to a Cantor set of tori of non-zero measure, exponential stability is of much greater interest from the physical point of view, because it can be applied to all orbits in open domains of the phase space, whether they lie on an invariant torus or not. The corresponding theorem proven by Nekhoroshev (1977) defines stability regions for a finite time T in both, regular and chaotic domains of the phase space. If the life-time of the physical system is shorter than the stability time derived from the Nekhoroshev estimates of the region, one can definitely say that orbits belonging to this region are stable from the practical point of view. An already known example of the Lagrangian equilateral configuration in our solar system, where Nekhoroshev estimates are applicable, is the population of Trojan asteroids around the equilibrium points L4 and L5 of the Sun-Jupiter system. The Trojans are in the 1:1 mean motion resonance with Jupiter and their motions and semimajor axes oscillate around those of Jupiter as mean values. While moving around the Sun, the Trojans perform librating motions around Jupiter's L4 or L5 point, located at 60° before and after Jupiter on Jupiter's orbit. All investigations of the Nekhoroshev stability of the Trojan type motion up to now were based on the circular restricted three body problem. This circular model is a great simplification of the real physical system that neglects all phenomena due to the ellipticity of the orbit of Jupiter and its secular changes due to the presence of the other planets. Therefore it is a mathematical challenge and represents a physically very interesting problem to generalize the Nekhoroshev estimates of the size of the stable region. Based on the method of Hadjimetriou we will develop a set of corresponding 4 dimensional mappings of the Trojan-type motion for different eccentricities of the perturbing body to make our results applicable also to Trojan planets in exosolar systems. Using the theory of Birkhoff normal forms, we will find an explicit form of the remainder of the mappings, which will directly lead us to suitable Nekhoroshev estimates of the Trojan-type motion. Thus our work is a logical next step on getting closer to more realistic applications of Nekhoroshev theory in celestial mechanics.

Im Gegensatz zum KAM – Theorem (Kolmogorov 1954, Arnold 1963, Moser 1962), welches Stabilität für all jene Orbits eines nichtlinearen dynamischen Systems garantiert, deren Anfangsbedingung Teil einer Cantormenge sind, liefert das Nekhoroshev - Theorem Aussagen über das Verhalten aller Bahnen in einem begrenzten Phasenraumbereich, unabhängig davon, ob es sich dabei um chaotische oder reguläre Orbits handelt. Das Theorem wurde für allgemeine Hamiltonische Systeme 1977 bewiesen und definiert im wesentlichen Stabilitätsbereiche für eine gesamte Umgebung um einen Fixpunkt im Phasenraum. Wenn nun das „Lebensalter“ eines physikalischen Systems kürzer, als eine für das System angegebene Nekhoroshev - Zeit ist, handelt es sich im praktischen Sinne um stabile Bahnen, die in einer definierten Umgebung des Fixpunktes an das System gebunden sind. Ein bekanntes Beispiel für „exponentielle Stabilität“ in unserem Sonnensystem ist die Bewegung der Trojaner um die equilateralen Lagrangepunkte des Sonne - Jupiter Systems. Die Asteroiden, die sich in ihrer Nähe befinden, führen oszillierende Bewegungen aus, sind aber nicht alle stabil. Alle bisherigen Untersuchungen bezüglich der Nekhoroshev Stabilität der Trojaner wurden im kreisförmigen Dreikörperproblem durchgeführt. Dieses Model entspricht aber nicht genau dem eigentlichen System und ist eine grobe Vereinfachung. Es stellt sich daher die mathematische wie physikalische Herausforderung, das elliptische Dreikörperproblem zu betrachten und im nächsten Schritt die säkularen Veränderungen der Exzentrizität der Jupiterbahn in die Untersuchungen mit hinein zu nehmen. Basierend auf der Methode von Hadjidimetriou werden in diesem Projekt entsprechende 4 dimensionale Mappings für verschiedene - auch große Exzentrizitäten von Jupiter entwickelt, um in der Folge die Resultate auch auf extrasolare Planeten anwenden zu können. Mit Hilfe der Theorie der Birkhoff´schen Normalformen werden wir dann die explizite Form des Restglieds entwickeln und daraus direkt auf den Nekhoroshev - stabilen Bereich schließen Dieses Projekt ist somit ein logischer weiterer Schritt, das Nekhoroshev Theorem auf realistische Modelle astrodynamischer Systeme anzuwenden.